수학세계 7, 쿼터니언의 곱셈

복소수가 유용한 이유 중 하나는 평면의 형상에 자연스럽게 연결되어 있기 때문입니다. 각 복소수 z = a + ib는 복소 평면의 좌표 점 (a, b)과 연관됩니다. 복소수에 대한 산술 연산은 평면의 벡터에 대한 연산에 해당합니다. 예를 들어, 두 복소수의 합이 두 벡터의 합과 같은지 확인할 수 있습니다. 더 중요한 것은 평면에서의 회전은 그림 30과 같이 복소수의 곱으로 표현 될 수 있습니다. 복소수는 실수 부와 허수 부를 좌표로하여 평면상의 점으로 나타낼 수 있습니다. 각도 θ의 평면에서의 회전은 복소수 지수 eiθ와의 곱셈에 의해 주어진다.

복소수를 사용하여 회전을 2 차원으로 설명 할 수있는 경우, 수학자에게는 당연히 의문의 여지가 있습니다. 

3 차원에서 회전을 설명하기위한 자연 구조 또는 숫자는 무엇입니까? 아일랜드의 수학자 윌리엄 로완 해밀턴 (William Rowan Hamilton)은 1843 년 더블린의 브루 로브 다리 (Brougham Bridge) 근처에서 산책을하는 동안 영감을 얻었을 때 깊이 생각하고있었습니다. 그는 교량 측면에서 칼로 아이디어를 신속하게 조각했으며, 수학 기물 파손의 대표적인 예입니다. 해밀턴의 주요 실현은 복소수를 일반화 할 수 있다는 것입니다. 그렇게하기 위해 해밀턴은 쿼터니언을 도입했습니다. 쿼터니언은 기호 i, j, k가 복소수에서 영감을 얻은 규칙을 만족하도록 실수의 4 중 (a, b, c, d)으로 작성된 숫자입니다.

쿼터니언의 중요한 새로운 기능은 다른 숫자의 곱이 순서에 따라 달라진다는 것입니다. 즉, 이러한 기본 규칙에 따라 쿼터니언을 더하고 곱할 수 있습니다. 예를 들어 q2 = 3+ 2i + k를 사용하여 두 개의 쿼터니언 q1 = 2 + i의 곱을 취할 수 있습니다.

곱셈을 수행하는 순서가 중요하기 때문에 쿼터니언의 곱셈은 비정규 적이라고합니다. 예를 들어 해밀턴은 최초의 비계산 대수를 만들었고, 그 과정에서 추상 대수의 분야를 시작하여 그러한 구조와 일반화에 대한 연구에 전념했습니다. 쿼터니언은 수학자에게 진정한 기쁨입니다. 그것들은 우아한 대수적 구조를 가지고있을뿐만 아니라 기쁜 해석을 가지고 있습니다. 특히, 표준 1의 쿼터니언 (즉, q × q = 1과 같은 모든 쿼터니언 q)은 4 차원의 초구에 놓여있다 (n 차원의 반경 r> 0의 초구는 n 차원의 공간에서 점들의 집합이다) 2 차원에서는 원, 3 차원에서는 구, 그리고 더 높은 차원에서는 구입니다). 해밀턴은 나머지 직업을 쿼터니언에 대한 수학적 연구에 바 쳤지 만,그들은 도구로 널리 성공하지 못했으며 결국 벡터와 행렬로 대체되었습니다.

쿼터니언은 너무 멀리 가고있는 수학의 예로 사용될 수 있습니다. 4 차원의 숫자 표현이 필요한 사람은 누구입니까? 분명히 이러한 비정규 대수 구조는 일상 생활과 거의 또는 전혀 관련이 없습니까? 그러나 컴퓨터가 등장하면서 쿼터니언은 간단한 기하학적 해석을하기 때문에 효율적인 회전 계산 방법이 필요한 많은 응용 분야에서 사용될 수 있다는 것을 깨달았습니다. 실제로 쿼터니언은 이제 컴퓨터 그래픽, 로봇 공학, 미사일 및 위성지도는 물론 궤도 역학 및 제어 이론에 일상적으로 사용됩니다.

이러한 영역에서 쿼터니언은 기존 행렬 표현에 비해 두 가지 주요 이점이 있습니다. 첫째, 회전 행렬의 9 개 요소가 아닌 쿼터니언으로 회전을 코딩하는 데 4 개의 숫자 만 있으면 반복 회전 계산 속도가 상당히 빨라집니다. 둘째, 그들은 '짐벌 잠금'으로 고통받지 않습니다. 이 아이디어를 이해하기 위해 공간의 회전을 세 가지 각도로 시각화 할 수 있습니다. 먼저 팔을 펴십시오. 먼저 세로로 이동 (피치) 한 다음 가로로 (요) 회전 한 다음 팔 자체를 회전 (롤)하여 회전을 만들 수 있습니다. 그러나 이렇게하면 항상 위치가 잘못 정의됩니다. 팔을 똑바로 세울 때 요와 롤 사이에 차이가 없습니다. 그림 31에 나와있는 피치, 요잉, 롤 회전 시스템에서 피치가 위 또는 아래로 90 ° 회전하면,요와 롤은 동일한 동작에 해당하며 회전에 대한 정보가 손실됩니다. 이 가상 짐벌 잠금은 일부 각도 영역에 접근 할 수없고 비행기가 다이빙 중일 때 치명적인 결과를 초래할 수있는 실제 짐벌의 문제입니다. 1969 년 첫 달 착륙 임무 동안 아폴로 11 호 우주선에는 충분한 수의 짐벌과 짐벌 잠금 장치가 장착되지 않았습니다. 음력 모듈이 착륙 한 후 마이크 콜린스 (Mike Collins)는 '크리스마스를 위해 짐벌을 네 번째로 보내면 어떨까요?' 쿼터니언의 경우 가상 잠금이 없으며 단위 쿼터니언을 특징으로하는 4 개의 숫자를 변경하여 회전을 부드럽게 설명 할 수 있습니다. 쿼터니언이 비행기 기술, 특히 현대 관성 내비게이션 프로그램에서크래프트 바디 프레임의 회전 (피치, 요, 롤) 및 기하학적 위치 (위도 및 경도)를 나타내는 데 사용됩니다.

짐벌은 공간에서 회전하기위한 다중 링 시스템입니다. 함께 장착 된 3 개의 짐벌 세트에서 각각 롤, 피치 및 요 (yaw)의 자유도를 제공합니다.

수학에는 항상 다음 질문이 있습니다. 쿼터니언을 일반화하는 자연적인 방법이 있습니까? 쿼터니언이 유행하던 19 세기에 확장 기능인 옥토 니온이 이미 제안되었습니다. 이름에서 알 수 있듯이 옥 토니 언은 8 개의 구성 요소로 정의됩니다. 복소수가 실수의 쌍이고 쿼터니언이 복소수의 쌍인 반면, 옥토 니온은 쿼터니언의 쌍입니다. Octonionic 곱셈은 전 이적이거나 연관 적이 지 않습니다. 즉, 세 개의 octonion을 곱하면 결과는 일반적으로 처음 두 개를 곱할 것인지 마지막 두 개를 곱할 것인지에 달려 있습니다. 이것은 또 다른 쓸모없는 수학 구조입니까? 아닙니다. 역사적 추세에 따라이 구조는 스트링 이론에서 특수 상대성 이론 및 양자 논리에 이르기까지 다양한 분야에서 응용되고 있습니다.