수학세계 6, 매듭과 DNA

19 세기 말, 1865 년 해밀턴이 사망 한 직후 윌리엄 톰슨 (Kelvin William이 됨)은 영감을 불러 일으켰습니다. 그는 화학 원소가 내부 구조를 통해 분류 될 수 있다는 장엄한 생각을 가지고있었습니다. 유체 역학에 관한 Hermann von Helmholtz의 초기 연구와 연기 고리에 관한 그의 친구 인 스코틀랜드 자연 철학자 피터 테이트 (Peter Tait)의 조사에 따르면 톰슨은 원자가 얽힌 소용돌이로 구성되어 있다고 믿었습니다. Thomson의 소용돌이 원자 이론에서, 원자는 변형 될 수있는 복잡성을 증가시키는 매듭이지만, 본질적인 형태를 잃어 버리지 않을 수 있습니다. 각 요소에는 해당 매듭이 있습니다. 문제는 당시에Carl Friedrich Gauss와 Johann Benedict의 주제에 대한 초기 작업에도 불구하고 매듭의 분류는 없었습니다.

톰슨의 제안에 따르면, Tait과 Little은 매듭을 연구하는 도구를 개발했으며 교차 숫자로 구성된 매듭을 체계적으로 열거했습니다. 수학적으로 매듭은 자기 교차가없는 공간에서 닫힌 곡선입니다 (기술적으로 매듭은 3 차원 유클리드 공간에 원을 포함 함). 수학적 매듭은 끈을 매듭 짓고 닫아 얻은 매듭의 아이디어와 매우 유사합니다. 두 개의 매듭은 끈을 변형시키고 늘려서 끈 자체를 뚫거나 자르지 않고 서로 변형시킬 수 있다면 동일합니다. Tait은 규칙적인 투영에서 발견되는 가장 작은 수의 교차점 즉,평면에서 매듭의 가능한 모든 그림자를보고 3 개 이상의 곡선이 교차점에서 만나는 불규칙한 그림자를 무시함으로써). 가장 간단한 매듭, 그림 32에 나와있는 unknot은 교차점이 없습니다. 트레 포일 매듭 (31)은 3 개의 교차점 등을 갖는다. Tait의 주요 분류는 소위 복합 매듭보다 간단한 프라임 매듭과 관련이 있습니다. 복합 매듭은 그림 33에 표시된 할머니 매듭 및 사각형 매듭과 같은 소수 매듭의 합으로 얻습니다. 소수가 양의 정수를 분해하는 데 사용되는 것처럼 소수는 기본 매듭의 빌딩 블록으로 사용할 수 있습니다.소위 복합 매듭보다 간단합니다. 복합 매듭은 그림 33에 표시된 할머니 매듭 및 사각형 매듭과 같은 소수 매듭의 합으로 얻습니다. 소수가 양의 정수를 분해하는 데 사용되는 것처럼 소수는 기본 매듭의 빌딩 블록으로 사용할 수 있습니다.소위 복합 매듭보다 간단합니다. 복합 매듭은 그림 33에 표시된 할머니 매듭 및 사각형 매듭과 같은 소수 매듭의 합으로 얻습니다. 소수가 양의 정수를 분해하는 데 사용되는 것처럼 소수는 기본 매듭의 빌딩 블록으로 사용할 수 있습니다.

불행히도 Tait and Little에게는 최대 10 개의 교차점까지 매듭을 완성 할 때까지 러시아 화학자 Dmitri Mendeleev가 주기율표로 분류 문제를 해결했습니다. 소용돌이 원자 이론은 역사의 쓰레기통으로 강등되었습니다. 그러나 새로운 수학적 이론이 탄생하고 20 세기에 매듭 연구는 대수 및 분석과 같은 다른 수학적 이론과의 놀라운 연결과 함께 저 차원 토폴로지 연구의 주요 초점이 되었기 때문에 그들의 노력은 헛되지 않았습니다. 주제는 1990 년 Fields Medal 중 하나가 Vaughan Jones에게 매듭 이론에 대한 공헌, 특히 각 매듭 유형에 대한 함수 발명인 Jones 다항식에 대해 수여되어 수여되었습니다. 본질적으로 Jones 다항식 P (x)는 매듭마다 정의됩니다 (예 :unknot P = 1 및 trefoil P = x + x3-x4). 매듭 점에 대한 연산은 다항식에 대한 연산으로 변환 될 수 있으므로 지오메트리를 대수에 연결합니다. 이 아름다운 구조는 다른 수학적 이론과 밀접한 관련이 있으며 두 개의 매듭을 구별 할 수 있습니다 (두 개의 매듭이 다른 존스 다항식을 갖는 경우에는 반드시 다름). 이러한 구조 덕분에 이제 스트랜드를 절단하여 교차를 뒤집거나 다른 스트랜드가 통과 한 후 컷 스트랜드를 다시 연결하는 것과 같이 매듭에 대한 수술 작업에 정확한 의미를 부여 할 수 있습니다.이 작업은 변경 될 수 있습니다. 매듭 유형을 변경하여 매듭의 토폴로지.따라서 기하학을 대수에 연결합니다. 이 아름다운 구조는 다른 수학적 이론과 밀접한 관련이 있으며 두 개의 매듭을 구별 할 수 있습니다 (두 개의 매듭이 다른 존스 다항식을 갖는 경우에는 반드시 다름). 이제 그림 34에 표시된 것처럼 스트랜드를 절단하여 교차를 뒤집거나 다른 스트랜드가 통과 한 후 컷 스트랜드를 다시 연결하는 등 매듭의 수술 작업에 정확한 의미를 부여 할 수 있습니다.이 작업으로 매듭의 토폴로지가 변경 될 수 있습니다. 매듭 유형을 변경하여.

매듭 수술, 교차점 (교차점에서 교차점으로)을 교환하여 매듭 유형을 변경할 수 있습니다. 3 차원에서이 작업은 절단, 스트랜드 통과 및 커브 재 연결을 통해 수행 할 수 있습니다. 교차점을 교체 한 후, 매듭은 매듭 유형을 개미 자리에서 주둥이로 변경했습니다.

오늘날 매듭 이론은 여전히 ​​순수한 수학의 최전선에 있습니다 (도전적인 문제는 그림 35 참조). 그러나 1980 년대 이래로 많은 물리 및 생물 시스템 연구에서 예상치 못한 적용이 발견되었습니다. 6 장에서 논의한 바와 같이, 크릭과 왓슨이 DNA 구조를 정식으로 발견 한 후, DNA 분자는 모든 생물체가 성장, 발달, 적절한 기능 및 번식을 위해 사용하는 기본 유전 정보를 가지고 있다는 것이 이해됩니다. 물리적으로 인간에서 발견되는 세포 DNA는 매우 길고 얇은 사슬입니다. 정리하면, 가장 큰 인간 염색체, 염색체 수 1은 길이가 85mm이고 폭이 약 2 나노 미터이며, 그 직경보다 4,250 만 배 더 긴 사슬입니다.이러한 사슬은 핵 내부에 단단히 포장되어 있으며 재조합, 복제 및 전사와 같은 주요 프로세스를 위해 조작해야합니다. DNA는 기하학적 패킹 문제뿐만 아니라 많은 토폴로지 문제도 해결해야합니다.