수학세계 8, 쿼터니언

현대 수학은 끊임없이 확장되는 분야입니다. 바벨탑처럼, 그것은 인간 지식의 경계를 밀어 냄으로써 더 높은 하늘을 향해 지속적으로 도달하고 있습니다. 그러나 우리가 살고있는 세계와 관련이 없는지, 심지어 자신의 언어조차도 난해한 지에 대해 의문을 제기 할 수있는 극단적 인 정교함에 도달했습니다. 수학의 목표는 관련성이 있거나 접근하기 쉽지 않다는 점을 강조하는 것이 중요합니다. 우리는 은하 또는 물질 구성 요소의 움직임을 이해하는 것이 모든 국가의 국내 총생산을 직접적으로 증가시키는 것이 거의 없음에도 불구하고 사회가 지원해야 할 가치있는 인간 활동이라는 기본 원칙을 받아들입니다. 마찬가지로 수학은 지식을 위해 자체적으로 지원되어야하는 중요한 인간 기업입니다. 아직,이러한 주장 자체는 수학에 대한 타당한 근거가 될 수 있으며, 특히 모국어를 구사하지 못하는 사람들을 배제 할 수있는 자신의 언어가 있다는 점에서 모호한 구석 구석으로 제한 할 수있다. 수학은 사회에서 중요한 위치를 차지하지만 항상 명확한 것은 아닙니다. 윌리엄 카 우퍼 (William Cowper)는 역설적으로 수학은 신비한 방식으로 움직이며 놀라운 결과를 낳습니다. 본질적으로, 그것은 지식의 추상적 인 지점이며, 많은 학문이 세속적 인 뿌리를 가지고 있지만, 추상적 인 형태는 항상 일반적인 인간의 추구와 다른 과학과 분리되어 있습니다. 공학과 과학에 관한 한, 19 세기 말의 수학적 지식만으로도 충분하다고 주장 할 수 있습니다. 새로운 수학이 정말로 필요한가? 예, 예측할 수없는 많은 방법으로 어제수학은 오늘날의 과학이며, 오늘날의 수학은 미래의 기술과 과학입니다. 

산술과 숫자의 역사는 수학의 비합리적 적용 성을 탐구하기에 좋은 장소입니다. Arithmetica에서 Alexandria의 Diophantus는 방정식 (현대 용어로 작성), 4 = 4x + 20을 풀려고했습니다.이 방정식의 해는 x = -4이지만 Diophantus는이 방정식이 음수를 줄 것이라는 것을 알고 있습니다. 이 결과를 터무니없는 것으로 부릅니다. 분명히, 실제 문제를 해결하는 데 음수가 사용될 것이라고 생각할 이유가 없었습니다. 그러나 수학자들은 간단한 자기 일관성과 본질적인 조화의 원리에 따라 추상적 개념을 체계적으로 확장 해 왔습니다.

음수는 우리가 방정식을 푸는 데 도움이되는 추상적 인 구성이 아닙니다. 우리가 어린 나이에 학교에서 가르치는 이유는 그들이 우리 주변의 세계를 정량화하는 능력의 근본이기 때문입니다. 일단 음수가 개념으로 받아 들여지면, 방정식 ax + b = 0은 aa 비 소멸 정수와 b 정수에 대한 해를 가짐을 쉽게 알 수 있습니다. 이 해는 x = -b / a 형식의 유리수 (두 정수의 비율)입니다.

동일한 구성에 따라, 방정식의 여러 해를 찾아서 –2 해에 직접적인 기하 해석이 없다는 사실에도 불구하고 x2 = 4와 같은 방정식에 두 해 (2와 –2)가 있음을 알 수 있습니다. '이상한', '가상적인' 또는 '불가능한'해결책을 거부하기보다는 수용 가능한 해결책의 개념을 확대하는 것이 합리적입니다.

x2 = 2는 어떻습니까? 이 방정식은 피타고라스 사람들에게 많은 문제를 일으켜 비이성적 인 수 (즉,와 같이 두 정수의 비율로 쓸 수없는 수)라는 개념을 도입하도록 강요했습니다. 이 숫자는 현재 잘 이해되어 있으며 기본 수학의 필수 부분입니다. 

수 구성의 다음 존재 위기는 방정식 x2 = -1의 해법과 함께 왔습니다. 다시, 우리는 선택이 있습니다. 우리는이 방정식에 해가 없다는 것을 선언합니다. 분명히, 제곱이 음수 인 실수는 없기 때문입니다. 또는 새로운 숫자를 수용하기 위해 숫자 정의를 일반화합니다. 그들이 1545 년에 지 롤라 모 카르 다노에 의해 처음으로 연구되었지만, 1 세기 후 그러한 해결책을 허수라고 부르는 사람은 르네 데카르트였습니다. Euler, Gauss, Cauchy와 같은 수학적 거인의 천재는 또 다른 몇 세기와 복소수에 대한 명확한 수학적 기초와 용어를 제공하기 위해 필요했습니다.

단위 허수에 대한 표기법과 간단한 규칙 i × i = -1을 사용하여 임의의 복소수를 z = a + ib로 쓸 수 있습니다. 여기서 a와 b는 실수 (z의 실수 부와 허수 부) ). 수학에서 복소수의 도입은 광범위한 결과를 가져 왔습니다. 곧, 오일러의 공식을 통해 일반적인 삼각 함수와 관련된 유명한 지수와 같이 복소수의 함수를 정의 할 수 있다는 것이 깨달았습니다.이 공식에 숨겨진 것은 우리가 학교에서 배우는 대부분의 삼각 정체성입니다. 또한 θ = π로 평가할 때 간단히 읽습니다.

이 작고 우아한 아이덴티티는 가장 기본적인 수학적 수치 (π, e, -1, i)를 예기치 않은 방식으로 연결하기 때문에 수학적 아름다움의 궁극적 인 예로 종종 인용됩니다.

복소수는 또한 응용 수학에서 매우 유용합니다. 예를 들어, 이전 장에서 보았던 푸리에와 라돈 변환뿐만 아니라 파동과 확산 방정식의 솔루션은 모두 복잡한 분석을 사용하여 컴팩트하게 공식화되었습니다. 과거 어느 시점에서 수학자의 상상력의 조각상으로 나타난 것은 순수하고 적용되는 모든 수학의 필수 기둥으로 판명되었습니다.